整式の加法・減法・乗法 (数と式)(解答、解説付き)

数学Ⅰ

このサイトでは、高校数学の色んな問題を提示してます. 今回は、”数学Ⅰ“の問題である”整式の加法・減法・乗法“についての問題を解いていきましょう!!

では、さっそく問題を解いていきましょう.

まずは、”同類項の整理と次数, 定数項の問題“の”基本問題“です.

次の整式の同類項をまとめて整理せよ. また、\((3), (4)\)については[]内の文字に着目したとき、その次数と定数項を求めよ.

\((1)\)  \(5x^{2}+5x-9-6x^{2}+7x+3\)
\((2)\)  \(2x+5x^{2}-1+8x^{2}+9x-4\)
\((3)\)  \(6a^{2}-ab-b^{2}+2ab+9a^{2}+2b^{2}\)   [\(b\)]
\((4)\)  \(3x^{3}-7ax^{2}y+2xy-9by+y^{2}+xy-by+a\)   [\(xとy\)], [\(y\)]

次は、”同類項の整理と次数, 定数項の問題“の”応用問題“です

この応用問題では、実践的な問題となっていてテストなどに出やすい問題です.

\((1)\)  次の整式の同類項をまとめよ.
  \(-7x+y+2x^{2}+3x-9y\)

\((2)\)  次の整式について、[]内の文字に着目したとき、その次数と定数項を求めよ.

 \((Ⅰ)\)  \(2x-2xy+5y^{2}+3-9x-6xy+y^{2}-1\)   [\(y\)]
 \((Ⅱ)\)  \(5a^{2}b^{2}-2ab+3ab-a^{2}b^{2}+c^{2}+a-5b-a+9\)   [\(b\)], [\(aとb\)]

次は、”整式の加法と減法“の”基本問題“を解いていきましょう!!

  \(A=2x^{2}+3y^{2}-xy\)  \(B=3y^{2}+xy-5x^{2}\)  \(C=-9x^{2}+2xy-4y^{2}\)

\((1)\)  \(A+B\)  \((2)\)  \(B-A\)  \((3)\)  \(-A+2B+C\)

次は、”整式の加法と減法“の”応用問題“です.

これも基本問題と同様に考えて、丁寧に計算すると解けます.

実力を上げたい方は是非この問題も解いていきましょう!!

  \(X=-7x^{2}+4x-1\)  \(Y=x^{2}-x\)  \(Z=-8x^{2}-x+8\)

\(2X-[2{Y-(4Z-X)}-(Y-Z)]\)
を求めよ

これで問題は以上です. これらの問題は自分で自作してつくることができるので、実力を身につけたい方はぜひ数字を変えて解いてみてください.

では、これらの問題の解説解答を見ていきましょう.

\((1)\)  \(5x^{2}+5x-9-6x^{2}+7x+3\)
   =\((5x^{2}-6x^{2})+(5x+7x)+(-9+3)\)
   =\(-x^{2}+12x-6\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \(2x+5x^{2}-1+8x^{2}+9x-4\)
   =\((5x^{2}+8x^{2})+(2x+9x)+(-1-4)\)
   =\(13x^{2}+11x-5\)   ・・・(答え)

\((3)\)  \(6a^{2}-ab-b^{2}+2ab+9a^{2}+2b^{2}\)   [\(b\)]
   \((6a^{2}+9a^{2})+(-ab+2ab)+(-b^{2}+2b^{2})\)
   =\(15a^{2}+ab-3b^{2}\)   ・・・(答え)

次に、\(b\)に着目すると、\(-3a^{2}+ab+15a^{2}\)
   よって次数; \(2\), 定数項; \(15a^{2}\)   ・・・(答え)

\((4)\)  \(3x^{3}-7ax^{2}y+2xy-9by+y^{2}+xy-by+a\)   [\(xとy\)], [\(y\)]
   =\(3x^{3}-7ax^{2}y+(2xy+xy)+(-9by-by)+a\)
   =\(3x^{3}-7ax^{2}y+3xy+y^{2}-10by+a\)   ・・・(答え)

次に、\(xとy\)に着目すると、次数; \(3\), 定数項; \(a\)   ・・・(答え)

また、\(y\)に着目すると\(y^{2}+(-7ax^{2}+3x-10b)y+3x^{2}+a\)
   よって次数; \(2\), 定数項; \(3x^{2}+a\)   ・・・(答え)

\((1)\)  \(-7x+y+2x^{2}+3x-9y\)
   =\((-7x+3x)+(y-9y)+2x^{2}\)
   =\((-7+3)x+(1-9)y+2x^{2}\)
   =\(2x^{2}-4x-8y\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \((Ⅰ)\)  \(2x-2xy+5y^{2}+3-9x-6xy+y^{2}-1\)   [\(y\)]
      =\((5y^{2}+y^{2})+(-2xy-6xy)+(2x-9x)+(3-1)\)
      =\((5+1)y^{2}+(-2-6)xy+(2-9)x+2\)
      =\(6y^{2}-8xy-7x+2\)   ・・・(答え)

よって\(y\)に着目すると、次数; \(2\), 定数項; \(-7x+2\)   ・・・(答え)

   \((Ⅱ)\)  \(5a^{2}b^{2}-2ab+3ab-a^{2}b^{2}+c^{2}+a-5b-a+9\)   [\(b\)], [\(aとb\)]
      =\((5a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2})+(-2ab+3ab)+c^{2}+(a-a)-5b+9\)
      =\((5-1)a^{2}b^{2}+(-2+3)ab+c^{2}-5b+9\)
      =\(4a^{2}b^{2}+ab+c^{2}-5b+9\)   ・・・①

ここで[\(b\)]に着目すると、\(4a^{2}b^{2}+(a-5)b+c^{2}+9\)であり、次数; \(2\), 定数項; \(c^{2}+9\)   ・・・(答え)

次に、[\(aとb\)]に着目すると①より、次数; \(2\), 定数項; \(c^{2}+9\)   ・・・(答え)

\((1)\)  \(A+B\) = \((2x^{2}+3y^{2}-xy)+(3y^{2}+xy-5x^{2})\)
         = \((2x^{2}-5x^{2})+(-xy+xy)+(3y^{2}+3y^{2})\)
         = \(-3x^{2}+6y^{2}\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \(B-A\) = \((3y^{2}+xy-5x^{2})-(2x^{2}+3y^{2}-xy)\)
         = \((-5x^{2}-2x^{2})+(xy+xy)+(3y^{2}-3y^{2})\)
         = \(-7y^{2}+2xy\)   ・・・(答え)

\((3)\)  \(-A+2B+C\) = \(-(2x^{2}+3y^{2}-xy)+2(3y^{2}+xy-5x^{2})+(-9x^{2}+2xy-4y^{2})\)
         = \((-2x^{2}-10x^{2}-9x^{2})+(xy+2xy+2xy)+(-3y^{2}+6y^{2}-4y^{2})\)
         = \(-21x^{2}+5xy-y^{2}\)   ・・・(答え)


  \(2X-[2{Y-(4Z-X)}-(Y-Z)]\)   ・・・①
まず、各成分で計算してみる.
  \(2X\) = \(2(-7x^{2}+4x-1)\) = \(-14x^{2}+8x-2\)
  \(2Y\) = \(2(x^{2}-x)\) = \(2x^{2}-2x\)
  \(4Z-X\) = \(4(-8x^{2}-x+8)-(-7x^{2}+4x-1)\) = \(-25x^{2}-8x+33\)
  \(Y-Z\) = \((x^{2}-x)-(-8x^{2}-x+8)\) = \(9x^{2}-8\)

よって① = \((-14x^{2}+8x-2)-[(2x^{2}-2x)-(-25x^{2}-8x+33)-(9x^{2}-8)]\)
     = \((-14x^{2}+8x-2)-(18x^{2}+6x-25)\)
     = \(-32x^{2}+2x+23\)   ・・・(答え)

以上です.

補足

このサイトでは、高校、大学数学に関する様々な問題と、解説解答を提示しています. また、高校、大学の定期試験などでよく出題される問題など基礎的な問題に触れていますので、数学科はもちろん、興味のある方にもできるだけ理解できるように解説しています。

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