疑問
外測度って何？、、一点集合の外測度が\(0\)になる理由は？、、有理数全体の集合の外測度は？、、

 外測度の定義

  \(\mathbb{R}^{d}\)の部分集合全体からなる集合族を\(P(\mathbb{R}^{d})\)とすると、その\(A \in P(\mathbb{R}^{d})\)とする.
また、\(R(\mathbb{R}^{d})\)を\(\mathbb{R}^{d}\)上の有界な右半開区間の有限和で表される集合全体とする.

     \(m^{\ast}(A) = \inf \displaystyle \sum_{k=1}^\infty m(E_{k})\)    \((A \subset \bigcup_{ k = 1 }^{ \infty } E_{k},  E_{k} \in R(\mathbb{R}^{d}))\)

  と \(m^{\ast}\) を定める. このとき、 \(m^{\ast}(A)\) を \(A\) の外測度という.

 また、\(A \in R(\mathbb{R}^{d})\)のとき、\(A\) 自身が被覆となるので、\(m^{\ast}(A) = m(A)\)となる.

一点集合の外測度が0であることの解説

  まず、\(\mathbb{R}\) 上の一点集合であるので、数直線上の任意の一点をとり、その点を \(x \in \mathbb{R}\) とすると、それだけの要素をもつ集合は\(\{ x \}\) と書くことができます.

  次に、任意の \(\varepsilon \gt  0\) をとり固定すると、\(\{ x \}\) は \([x, x+\varepsilon)\) の１個で完全に覆うことができる.
 ここで、\([x, x+\varepsilon)\) は、\([x, x+\varepsilon) \in  R(\mathbb{R}^{d})\) となる\(R(\mathbb{R}^{d})\) の元であるので、外測度の定義より \(m^{\ast}([x, x+\varepsilon)) = m([x, x+\varepsilon))\) となり、測度の計算として考えることができる.
  すなわち、\(m^{\ast}([x, x+\varepsilon)) =m([x, x+\varepsilon)) =(x+\varepsilon)-x  = \varepsilon\) となる.

  よって、\(m^{\ast}(\{ x \}) \leq  m^{\ast}([x, x+\varepsilon)) = m([x, x+\varepsilon)) = \varepsilon\) と書き表せる.

  以上より、\(m^{\ast}(\{ x \}) \leq  \varepsilon\) より、\(m^{\ast}(\{ x \}) = 0\) である.

有理数全体\(\mathbb{Q}\)の外測度が0であることの解説

  まず、有理数全体の集合 \(\mathbb{Q}\) は可算集合であるため、一点の可算和として書き表すことができる.
  すなわち \(\mathbb{Q}\) = \(\{ q_{1} \} \cup  \{ q_{2} \} \cup  \{ q_{3} \} \cup  \cdots\) = \(\bigcup_{ n = 1 }^{ \infty }  \{ q_{n} \}\)

  よって、外測度の性質の劣加法性より \(m^{\ast}(\mathbb{Q}) = m^{\ast}(\bigcup_{ n = 1 }^{ \infty }  \{ q_{n} \}) \leq  \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m^{\ast}(\{ q_{n} \})\) = \(m^{\ast}(\{ q_{1} \}) + m^{\ast}(\{ q_{2} \}) + \cdots  = 0  + 0  + \cdots\ = 0\) となる.