整式の加法・減法・乗法 (数と式)(解答、解説付き)

次の整式の同類項をまとめて整理せよ. また、\((3), (4)\)については[]内の文字に着目したとき、その次数と定数項を求めよ.

\((1)\)  \(5x^{2}+5x-9-6x^{2}+7x+3\)
\((2)\)  \(2x+5x^{2}-1+8x^{2}+9x-4\)
\((3)\)  \(6a^{2}-ab-b^{2}+2ab+9a^{2}+2b^{2}\)   [\(b\)]
\((4)\)  \(3x^{3}-7ax^{2}y+2xy-9by+y^{2}+xy-by+a\)   [\(xとy\)], [\(y\)]

\((1)\)  次の整式の同類項をまとめよ.
  \(-7x+y+2x^{2}+3x-9y\)

\((2)\)  次の整式について、[]内の文字に着目したとき、その次数と定数項を求めよ.

 \((Ⅰ)\)  \(2x-2xy+5y^{2}+3-9x-6xy+y^{2}-1\)   [\(y\)]
 \((Ⅱ)\)  \(5a^{2}b^{2}-2ab+3ab-a^{2}b^{2}+c^{2}+a-5b-a+9\)   [\(b\)], [\(aとb\)]

  \(A=2x^{2}+3y^{2}-xy\)  \(B=3y^{2}+xy-5x^{2}\)  \(C=-9x^{2}+2xy-4y^{2}\)

  \(X=-7x^{2}+4x-1\)  \(Y=x^{2}-x\)  \(Z=-8x^{2}-x+8\)

\((1)\)  \(5x^{2}+5x-9-6x^{2}+7x+3\)
   =\((5x^{2}-6x^{2})+(5x+7x)+(-9+3)\)
   =\(-x^{2}+12x-6\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \(2x+5x^{2}-1+8x^{2}+9x-4\)
   =\((5x^{2}+8x^{2})+(2x+9x)+(-1-4)\)
   =\(13x^{2}+11x-5\)   ・・・(答え)

\((3)\)  \(6a^{2}-ab-b^{2}+2ab+9a^{2}+2b^{2}\)   [\(b\)]
   \((6a^{2}+9a^{2})+(-ab+2ab)+(-b^{2}+2b^{2})\)
   =\(15a^{2}+ab-3b^{2}\)   ・・・(答え)

次に、\(b\)に着目すると、\(-3a^{2}+ab+15a^{2}\)
   よって次数; \(2\), 定数項; \(15a^{2}\)   ・・・(答え)

\((4)\)  \(3x^{3}-7ax^{2}y+2xy-9by+y^{2}+xy-by+a\)   [\(xとy\)], [\(y\)]
   =\(3x^{3}-7ax^{2}y+(2xy+xy)+(-9by-by)+a\)
   =\(3x^{3}-7ax^{2}y+3xy+y^{2}-10by+a\)   ・・・(答え)

次に、\(xとy\)に着目すると、次数; \(3\), 定数項; \(a\)   ・・・(答え)

また、\(y\)に着目すると\(y^{2}+(-7ax^{2}+3x-10b)y+3x^{2}+a\)
   よって次数; \(2\), 定数項; \(3x^{2}+a\)   ・・・(答え)

\((1)\)  \(-7x+y+2x^{2}+3x-9y\)
   =\((-7x+3x)+(y-9y)+2x^{2}\)
   =\((-7+3)x+(1-9)y+2x^{2}\)
   =\(2x^{2}-4x-8y\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \((Ⅰ)\)  \(2x-2xy+5y^{2}+3-9x-6xy+y^{2}-1\)   [\(y\)]
      =\((5y^{2}+y^{2})+(-2xy-6xy)+(2x-9x)+(3-1)\)
      =\((5+1)y^{2}+(-2-6)xy+(2-9)x+2\)
      =\(6y^{2}-8xy-7x+2\)   ・・・(答え)

よって\(y\)に着目すると、次数; \(2\), 定数項; \(-7x+2\)   ・・・(答え)

   \((Ⅱ)\)  \(5a^{2}b^{2}-2ab+3ab-a^{2}b^{2}+c^{2}+a-5b-a+9\)   [\(b\)], [\(aとb\)]
      =\((5a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2})+(-2ab+3ab)+c^{2}+(a-a)-5b+9\)
      =\((5-1)a^{2}b^{2}+(-2+3)ab+c^{2}-5b+9\)
      =\(4a^{2}b^{2}+ab+c^{2}-5b+9\)   ・・・①

ここで[\(b\)]に着目すると、\(4a^{2}b^{2}+(a-5)b+c^{2}+9\)であり、次数; \(2\), 定数項; \(c^{2}+9\)   ・・・(答え)

次に、[\(aとb\)]に着目すると①より、次数; \(2\), 定数項; \(c^{2}+9\)   ・・・(答え)

\((1)\)  \(A+B\) = \((2x^{2}+3y^{2}-xy)+(3y^{2}+xy-5x^{2})\)
         = \((2x^{2}-5x^{2})+(-xy+xy)+(3y^{2}+3y^{2})\)
         = \(-3x^{2}+6y^{2}\)   ・・・(答え)

\((2)\)  \(B-A\) = \((3y^{2}+xy-5x^{2})-(2x^{2}+3y^{2}-xy)\)
         = \((-5x^{2}-2x^{2})+(xy+xy)+(3y^{2}-3y^{2})\)
         = \(-7y^{2}+2xy\)   ・・・(答え)

\((3)\)  \(-A+2B+C\) = \(-(2x^{2}+3y^{2}-xy)+2(3y^{2}+xy-5x^{2})+(-9x^{2}+2xy-4y^{2})\)
         = \((-2x^{2}-10x^{2}-9x^{2})+(xy+2xy+2xy)+(-3y^{2}+6y^{2}-4y^{2})\)
         = \(-21x^{2}+5xy-y^{2}\)   ・・・(答え)