まず、\(P(\mathbb{R})\)の集合列{\(N_{j}\)}\(_{j=1}^{\infty}\)が零集合であるとき、集合列{\(N_{j}\)}\(_{j=1}^{\infty}\)の外測度は\(0\)になる
 よって、外測度の劣加法性から\(m^{\ast}(\bigcup_{ j = 1 }^{ \infty } N_{j})\leq\displaystyle \sum_{j=1}^\infty m^{\ast}(N_{j})=0\)が成り立つ.
 これは、\(P(\mathbb{R})\)の集合列{\(N_{j}\)}が零集合であるときに成立するので、\(m^{\ast}(\bigcup_{ j = 1 }^{ \infty } N_{j})\leq0\)となり、その可算和\(\bigcup_{ j = 1 }^{ \infty } N_{j}\)も零集合となる.

 では、まず、外測度の3つの条件を\(step1, step2, step3\)ごとに示していきます.

 \(step1;\) \(\mu(\emptyset)=0\)を示す

 まず、\(\mu(\emptyset)\)の測度はもちろん\(\mu(\emptyset)=0\)であり、明らかである.

 \(step2;\) \(A \subset B\) ならば \(\mu(A) \leq \mu(B)\)となることを示す.

 まず、\(A \subset B\)が成り立つとすると、もちろん\(B=A\cup(B-A)\)が成り立ち、\(A \cap (B-A)=\emptyset\)である.

 ここで、\(\mu\)の性質より \(A, B \in \mathcal{R}, A \cap B=\emptyset\) ならば、\(\mu(A \cup B)=\mu(A)+\mu(B)\) が成り立つ.

 これより、\(\mu(B)=\mu(A \cup (B-A))\)=\(\mu(A)+\mu(B-A)\)となり\(\mu(A) \leq \mu(A)+\mu(B-A) \leq \mu(B)\)

 よって、\(A \subset B\)ならば\(\mu(A) \leq \mu(B)\)である.

 \(step3;\) \(\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_{j}) \leq \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty} \mu(A_{j})\)を示す.

 まず、\(E_{1}=A_{1}\),  \(E_{j}=A_{j}-\bigcup_{k}^{j-1} A_{k}\) \((j=1,2,3,\cdots)\)と定めると、\(E_{i} \cap E_{j} = \emptyset\) \((i \neq j)\),  \(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j}=\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\)\(\cdots①\),  \(m(E_{j}) \leq m(A_{j})\)\(\cdots②\)  \((j=1,2,3,\cdots)\)が成立する.

 上の条件より\(\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty})=\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(E_{j})\)\(\cdots③\)が成り立つ.

 よって、①より、\(\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j})\)

 ③より、\(\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j})=\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(E_{j})\)

 ②より、\(\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(E_{j}) \leq \displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(A_{j})\)

 が成り立つ.

 以上より、\(\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j})=\mu(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j})=\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(E_{j}) \leq \displaystyle \sum_{j=1}^\infty \mu(A_{j})\)となる.

 よって、\(step1,2,3\)より\(\mu\)は\(\mathcal{R}\)上で外測度となる.