べき級数の収束半径の求め方

では、さっそく本題に入っていきましょう。

収束半径は、以下のことを示している。

定理

\begin{eqnarray} \sum_{ n = 0 }^{ \infty } a_nz^n =a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots \end{eqnarray}・・・(\(\ast\))

ここで、\(a_n \neq 0\)のとき

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\)が存在するとき、収束半径を \(\rho\) とすると、

\(\rho=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\)である.

ここで、 \(|z| \lt \rho\) ならば (\(\ast\)) 絶対収束. \(|z| \gt \rho\) ならば (\(\ast\)) 発散.

以上が収束半径の定理である.　これを用いて実際に問題を解いていきましょう！！

問題

次のべき級数の収束半径を求めよ.

\((1) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^n\) \((2) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}z^n\)

ではこれらの問題が解けたら、下の解答を見てみよう！

解答

\((1) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^n\)ならば、\(a_n=\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^n\)
このとき、
\(\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\frac{|(-1)^n\times(2n+2)!|}{|(2n)!\times(-1)^{n+1}|}=\frac{|(2n+1)\times(2n+2)|}{|-1|}=(2n+1)(2n+2)\)

よって、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\infty\)

以上より、このべき級数の収束半径を\(\rho\)とすると、\(\rho=\infty\)

\((2) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}z^n\)ならば、\(a_n=\frac{(-1)^n}{n}z^n\)
このとき、
\(\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\frac{|(-1)^n\times(n+1)|}{|n\times(-1)^{n+1}|}=\frac{|n+1|}{|-n|}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\)

よって、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=1\)

以上より、このべき級数の収束半径 \(\rho\) は \(\rho=1\)