しっかり分かる大学の置換の積、逆置換の求め方(解答、解説付き)

以下の(1), (2)では、置換の積を求めよ. また, (3)では指示通りに逆置換を求めよ.

(1)\(\pmatrix{ 2&1&3&4 \\ 3&4&1&2 }\)\(\pmatrix{ 1&3&2&4 \\ 4&3&2&1 }\)

(2)\(\pmatrix{ 1&4}\)\(\pmatrix{ 3&2}\)\(\pmatrix{ 1&4&2&3}\)\(\pmatrix{ 2&3}\)

(3)\(\sigma\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4&5 \\ 4&2&3&1&5 }\)の逆置換\(\sigma\)\(^-1\)を

\(\sigma\)\(^-1\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4&5 \\ k_1&k_2&k_3&k_4&k_5 }\)と表すとき, \(k_{1}, ….. , k_{5}\)を求めよ.

置換の積の計算方法→この場合、左の行列\(\pmatrix{ 2&1&3&4 \\ 3&4&1&2 }\)の一番左上の2から下に2→3とし、その次に右の行列\(\pmatrix{ 1&3&2&4 \\ 4&3&2&1 }\)を見て、上の行で3がある場所を確認する。すると、左から2番目にあり、同じように上から下に3→3となる。同様に、左の行列の上の行を見て1→4、そして右の行列を見て4→1となる。すなわち、行列\(\pmatrix{ 2&1&3&4 \\ 3&4&1&2 }\)の\(\pmatrix{ 2 \\ 3}\)から行列\(\pmatrix{ 1&3&2&4 \\ 4&3&2&1 }\)の\(\pmatrix{ 3 \\ 3}\)に移り結局2→3となることが分かる. 同様に、左の行列\(\pmatrix{ 2&1&3&4 \\ 3&4&1&2 }\)の\(\pmatrix{ 1 \\ 4}\)から右の行列\(\pmatrix{ 1&3&2&4 \\ 4&3&2&1 }\)の\(\pmatrix{ 4 \\ 1}\)に移り結局1→1となることが分かる. 残り2つも同じように計算することができます.

まず、\(\pmatrix{ 1&4}\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 1&3&2&4 }\), \(\pmatrix{ 3&2}\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 1&3&2&4 }\), \(\pmatrix{ 1&4&2&3}\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 4&3&1&2 }\), \(\pmatrix{ 2&3}\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 1&3&2&4 }\)とそれぞれ書き表せる. しかし、ここでの注意点は、これらの置換の積は右側から掛け合わせるので、一番右の行列\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 1&3&2&4 }\)から\(\pmatrix{ 1&2&3&4 \\ 1&3&2&4 }\)まで(1)と同様に各列の数字ごとに繰り返す.

置換の逆置換は、簡単に言うと上と下を入れ替えたモノである. すなわち、\(\sigma\)=\(\pmatrix{ 1&2&3&4&5 \\ 4&2&3&1&5 }\)の上下を入れ替えると, \(\pmatrix{ 4&2&3&1&5 \\ 1&2&3&4&5 }\)となる. これが逆置換すなわち\(\sigma\)\(^-1\)を表している. また、上の行の順番は変えて良いので、順番を整理すると題意が求まります.